\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-y^2+t^2=21\\x^2+3y^2+4z^2=101\end{matrix}\right.\) \(\begin{matrix}\left(1\right)\\\left(2\right)\end{matrix}\)

(1)+(2)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2+2y^2+4z^2+t^2=122\\x,y,z,t\in N\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow t=2n\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2z^2+2n^2=61\) (3)

\(\Leftrightarrow M=61+2n^2\)

(1) trừ (2)\(\Leftrightarrow y^2+z^2-n^2=20\)

n=0 ; y=2; z=4; x=5

=> Min M =61 khi n=0

(x;y;z;t)=(5;2;4;0)

Lấy (1) cộng (2) ta được

\(\hept{\begin{cases}2x^2+2y^2+4z^2+t^2=122\\x,y,z,t\in N\end{cases}=>}t=2n\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2z^2+2n^2=61\)

\(\Rightarrow M=61+2n^2\)

(1) trừ (2)\(\Leftrightarrow y^2+z^2-n^2=20\)

n=0 ; y=2; z=4; x=5

=> Min M =61 khi n=0

(x;y;z;t)=(5;2;4;0)

Lấy (1) cộng (2) theo từng vế ta có:

\(2\left(x^2+y^2+2z^2+t^2\right)-t^2=122\)

\(\Rightarrow M=\frac{122+t^2}{2}=61+\frac{t^2}{2}\ge61\forall t\)

=> Min M = 61 khi t = 0

Với t = 0 từ (1) \(\Rightarrow x^2-y^2=21\)

Hay: \(\left(x+y\right)\left(x-y\right)=21\)

Vì \(x,y,z,t\in N\) nên ta có 2 TH:

TH1:

\(\hept{\begin{cases}x-y=1\\x+y=21\end{cases}\Leftrightarrow x=11,y=10}\) (loại vì không thỏa mãn (2) )

TH2:

\(\hept{\begin{cases}x-y=3\\x+y=7\end{cases}\Leftrightarrow x=5,y=2}\)(thỏa mãn)

Thay vào (2) ta được: z = 4

Vậy: Min M  = 61 tại x = 5, y = 2, z = 4, t = 0

=.= hk tốt!!

Ta có:

\(\left(1.x+3.y+4.z+1.t\right)^2\le\left(1^2+3^2+4^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3y+4z+t\right)^2\le27\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(x=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=t\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3x\\z=4x\\t=x\end{matrix}\right.\)

Thay vào pt dưới:

\(x^3+27x^3+64x^3+x^3=93\)

\(\Leftrightarrow x=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3\\z=4\\t=1\end{matrix}\right.\)

Bài 2:

Gọi số ban đầu là \(\overline{ab}\)

Theo đề, ta có: 5a+2b=29 và 10b+a-10a-b=36

=>5a+2b=29 và -9a+9b=36

=>a=3 và b=7

hpt <=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=m\\\left(x+y\right)^2-2xy=-m^2+6\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=m\\\frac{2m^2-6}{2}=xy\end{matrix}\right.\)

Có \(P=xy+2\left(x+y\right)=\frac{2m^2-6}{2}+2m\)

=\(\frac{2m^2-6+4m}{2}=\frac{2\left(m+1\right)^2-8}{2}\ge-4\)

Dấu "=" xảy ra <=> m=-1

Pt đầu chắc là sai đề (chắc chắn), bạn kiểm tra lại

Với pt sau:

Nhận thấy một ẩn bằng 0 thì 2 ẩn còn lại cũng bằng 0, do đó \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right)\) là 1 nghiệm

Với \(x;y;z\ne0\)

Từ pt đầu ta suy ra \(y>0\) , từ đó suy ra \(z>0\) từ pt 2 và hiển nhiên \(x>0\) từ pt 3

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2x^2}{x^2+1}\le\dfrac{2x^2}{2x}=x\\z=\dfrac{3y^3}{y^4+y^2+1}\le\dfrac{3y^3}{3\sqrt[3]{y^4.y^2.1}}=y\\x=\dfrac{4z^4}{z^6+z^4+z^2+1}\le\dfrac{4z^4}{4\sqrt[4]{z^6z^4z^2}}=z\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\le x\\z\le y\\x\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)

Vậy nghiệm của hệ là \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right);\left(1;1;1\right)\)

\(A\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=\dfrac{1}{2}\)

\(A_{min}=\dfrac{1}{2}\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)